На этой странице собраны все формулы, необходимые для сдачи контрольных и самостоятельных работ, экзаменов по по алгебре, геометрии, тригонометрии, стереометрии и другим разделам математики.
Здесь вы можете скачать или посмотреть онлайн все основные тригонометрические формулы, формулу площади круга, формулы сокращенного умножения, формула длины окружности, формулы приведения и многие другие.
Можно так же распечатать необходимые сборники математических формул.
Успехов в учебе!
ФОРМУЛЫ АРИФМЕТИКИ:
- Законы действий над числами
- Некоторые математические обозначения
- Признаки делимости натуральных чисел
- Модуль
- Действия с дробями
- Пропорции
- Средние величины
- Некоторые конечные числовые ряды
ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ:
- Тождественные преобразования
- Тригонометрические формулы
- Прогрессии
- Производная
- Логарифмы
- Координаты и векторы
- Комбинаторика и бином Ньютона
- Пределы
- Интегралы
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ:
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ:
Законы действий над числами
Переместительный закон сложения: a + b = b + a.
Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
Переместительный закон умножения: ab = ba.
Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).
Распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)с = aс + bс.
Распределительный закон умножения относительно вычитания: (a — b)с = aс — bс.
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ:
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА «2»
- Число, делящееся на «2» без остатка называется чётным, не делящееся – нечётным. Число делится на «2» без остатка, если его последняя цифра чётная (2, 4, 6, 8) или ноль
Признаки делимости на «4»
- Число делится на «4» без остатка, если две последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «4»
Признаки делимости на «8»
- Число делится на «8» без остатка, если три последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «8» (пример: 1 000 — три последние цифры «00», а при делении 1 000 на 8 получается 125; 104 — две последние цифры «12» делятся на 4, а при делении 112 на 4 получается 28; и.т.д.)
Признаки делимости на «3» и на «9»
- Без остатка на «3» делятся только те числа, у которых сумма цифр делится без остатка на «3»; на «9» — только те, у которых сумма цифр делится без остатка на «9»
Признаки делимости на «5»
- Без остатка на «5» делятся числа, последняя цифра которых «0» или «5»
Признаки делимости на «25»
- Без остатка на «25» делятся числа, две последние цифры которых нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «25» (т.е. числа, оканчивающиеся на «00», «25», «50», «75»
Признаки делимости на «10», «100» и на «1 000»
- Без остатка на «10» делятся только те числа, последняя цифра которых ноль, на «100» — только те числа, у которых две последние цифры нули, на «1000» — только те числа, у которых три последние цифры нули
Признаки делимости на «11»
- Без остатка на «11» делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на «11»
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — ФОРМУЛЫ (МОДУЛЬ)
|a| ? 0, причём |a| = 0 только если a = 0; |-a|=|a||a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, причём b ? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b| 
ФОРМУЛЫ ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ
Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:
ПРОПОРЦИИ
<span «>Два равных отношения образуют пропорцию:
Основное свойство пропорции
ad = bc
Нахождение членов пропорции
Пропорции, равносильные пропорции :
Производная пропорция — следствие данной пропорции
в виде
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Среднее арифметическое
Двух величин:
n величин:
Среднее геометрическое (среднее пропорциональное)
Двух величин:
n величин:
Среднее квадратичное
Двух величин:
n величин:
Среднее гармоническое
Двух величин:
n величин:
НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Свойства арифметических корней
Для любых натуральных n и k, больших 1, и любых неотрицательных a и b верны равенства:
МНОГОЧЛЕНЫ
Для любых a, b и c верны равенства:
Свойства числовых неравенств
1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.
2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.
3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.
4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.
5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a — d < b — c.
6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.
7) Если
a < b,
a > 0,
b > 0, то
8) Если
, то
- СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА
Формулы двойного аргумента:
ФОРМУЛЫ ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА:
Формулы половинного аргумента:
Формулы третьей и четвертой степени:
Формулы преобразования суммы в произведение:
Формулы преобразования произведения в сумму:
Формула приведения для преобразования выражений вида
а) перед приведенной функцией ставиться тот знак, который имеет исход
ная функция;
-
б) функция меняется на «кофункцию», если n нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс.) Например:
ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛА:
Тригонометрические уравнения
ЕДИНИЧНАЯ ОКРУЖНОСТЬ:
ФОРМУЛЫ ПРОГРЕССИИ:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
-
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:
-
- Координаты и векторы
1. Расстояние между точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формулам:
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид:
y = kx + q.
Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ox, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Oy.
4. Общее уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0.
5. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oy и Ox, имеют вид:
ax + by + c = 0.
6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 соответственно имеют вид:
7. Уравнения окружностей с радиусом R и с центром соответственно в точках O(0;0) и C(xo;yo) имеют вид:
8. Уравнение: 
представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой
- Прямоугольная декартова система координат в пространстве
1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
3. Модуль вектора
заданного своими координатами, находится по формуле:
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
5. Единичный вектор
сонаправленный с вектором
находится по формуле:
6. Скалярным произведением
векторов
называется число:
где
— угол между векторами.
7. Скалярное произведение векторов
8. Косинус угла между векторами
и
находится по формуле:
9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов 
и 
имеет вид: 
10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
имеет вид:
11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:
12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:
- Комбинаторика и бином Ньютона
1) Число перестановок из n элементов находится по формуле:
2) Число размещений из n элементов по m находится по формуле:
3) Число сочетаний из n элементов по m находится по формуле:
4) Справедливы следующие свойства сочетаний:
5) Формула бинома Ньютона имеет вид:
Сумма показателей чисел a и b равна n.
6) (k+1)-й член находится по формуле:
7) Число сочетаний
также можно найти по треугольнику Паскаля.
Треугольник Паскаля (до n=7):
8) Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n.
9) Чтобы найти биномиальный коэффициент следующего члена, нужно биномиальный коэффициент предыдущего члена умножить на показатель числа a и разделить на кол-во предыдущих членов.
Неопределенные интегралы
Геометрия
- Планиметрия
- 1. Произвольный треугольник:
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. (a,b,c – стороны:
— противолежащие им углы; p – полупериметр; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; S – площадь; ha – высота, проведенная к стороне a):
- 2. Прямоугольный треугольник:
Центр описанной окружности совпадает с центром гипотенузы. (a,b – катеты; c – гипотенуза; ac, bc – проекции катетов на гипотенузу):
- 3. Равносторонний треугольник:
Медиана = биссектрисе. OR = Or.
- 4. Произвольный выпуклый четырехугольник
(d1 и d2 – диагонали;
– угол между ними; S — площадь):
- 5. Параллелограмм
(a и b – смежные стороны;
– угол между ними; ha – высота, проведенная к стороне a):
- 6. Ромб:
В любой ромб можно вписать окружность.
- 7. Прямоугольник:
Около любого прямоугольника можно описать окружность.
- 8. Квадрат
(d – диагональ):
- 9. Трапеция
(a и b – основания; h – расстояние между ними; l – средняя линия):
- 10. Описанный многоугольник
(p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности):
S = pr.
- 11. Правильный многоугольник
(an – сторона правильного n-угольника; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности):
- 12. Окружность, круг
(r — радиус; C – длина окружности; S – площадь круга):
- 13. Сектор
(l – длина дуги, ограничивающей сектор;
— градусная мера центрального угла;
— радианная мера центрального угла):
1. Произвольная призма
(l – боковое ребро; P – периметр основания; S – площадь основания; H – высота; Pсеч – периметр перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
- 2. Прямая призма:
- 3. Прямоугольный параллелепипед
(a,b,c – его измерения; V — диагональ):
- 4. Куб
(a — ребро):
- 5. Произвольная пирамида
(S – площадь основания; H – высота; V — объем):
- 6. Правильная пирамида
(P – периметр основания; l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности):
- 7. Произвольная усеченная пирамида
(S1 и S1 – площади оснований; h – высота; V — объем):
- 8. Правильная усеченная пирамида
(P1 и P2 – периметры оснований; l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности):
- 9. Цилиндр
(R – радиус основания; H – высота; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
- 10. Конус
(R – радиус основания; H – высота; l – образующая; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
- 11. Шар, сфера
(R – радиус шара; S – площадь сферической поверхности; V — объем):
- 12. Шаровой сегмент
(R – радиус шара; h – высота сегмента; S – площадь сферической поверхности сегмента; V — объем):
- 13. Шаровой сектор
(R – радиус шара; h – высота сегмента; V — объем):
Немає коментарів:
Дописати коментар